插值¶
In [1]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
设置 Numpy 浮点数显示格式：
In [2]:
np.set_printoptions(precision=2, suppress=True)
从文本中读入数据，数据来自 http://kinetics.nist.gov/janaf/html/C-067.txt ，保存为结构体数组：
In [3]:
data = np.genfromtxt("JANAF_CH4.txt",
delimiter="\t", # TAB 分隔
skiprows=1, # 忽略首行
names=True, # 读入属性
missing_values="INFINITE", # 缺失值
filling_values=np.inf) # 填充缺失值
显示部分数据：
In [4]:
for row in data[:7]:
print "{}\t{}".format(row['TK'], row['Cp'])
print "...\t..."
绘图：
In [5]:
p = plt.plot(data['TK'], data['Cp'], 'kx')
t = plt.title("JANAF data for Methane $CH_4$")
a = plt.axis([0, 6000, 30, 120])
x = plt.xlabel("Temperature (K)")
y = plt.ylabel(r"$C_p$ ($\frac{kJ}{kg K}$)")
插值¶
假设我们要对这组数据进行插值。
先导入一维插值函数 interp1d：
interp1d(x, y)In [6]:
from scipy.interpolate import interp1d
In [7]:
ch4_cp = interp1d(data['TK'], data['Cp'])
interp1d 的返回值可以像函数一样接受输入，并返回插值的结果。
单个输入值，注意返回的是数组：
In [8]:
ch4_cp(382.2)
Out[8]:
输入数组，返回的是对应的数组：
In [9]:
ch4_cp([32.2,323.2])
Out[9]:
默认情况下，输入值要在插值允许的范围内，否则插值会报错：
In [10]:
ch4_cp(8752)
但我们可以通过参数设置允许超出范围的值存在：
In [11]:
ch4_cp = interp1d(data['TK'], data['Cp'],
bounds_error=False)
不过由于超出范围，所以插值的输出是非法值：
In [12]:
ch4_cp(8752)
Out[12]:
可以使用指定值替代这些非法值：
In [13]:
ch4_cp = interp1d(data['TK'], data['Cp'],
bounds_error=False, fill_value=-999.25)
In [14]:
ch4_cp(8752)
Out[14]:
线性插值¶
interp1d 默认的插值方法是线性，关于线性插值的定义，请参见：
- 维基百科-线性插值： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%8F%92%E5%80%BC
- 百度百科-线性插值： http://baike.baidu.com/view/4685624.htm
其基本思想是，已知相邻两点 $x_1,x_2$ 对应的值 $y_1,y_2$ ，那么对于 $(x_1,x_2)$ 之间的某一点 $x$ ，线性插值对应的值 $y$ 满足：点 $(x,y)$ 在 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 所形成的线段上。
应用线性插值：
In [15]:
T = np.arange(100,355,5)
plt.plot(T, ch4_cp(T), "+k")
p = plt.plot(data['TK'][1:7], data['Cp'][1:7], 'ro', markersize=8)
其中红色的圆点为原来的数据点，黑色的十字点为对应的插值点，可以明显看到，相邻的数据点的插值在一条直线上。
多项式插值¶
我们可以通过 kind 参数来调节使用的插值方法，来得到不同的结果：
nearest最近邻插值zero0阶插值linear线性插值quadratic二次插值cubic三次插值4,5,6,7更高阶插值
最近邻插值：
In [16]:
cp_ch4 = interp1d(data['TK'], data['Cp'], kind="nearest")
p = plt.plot(T, cp_ch4(T), "k+")
p = plt.plot(data['TK'][1:7], data['Cp'][1:7], 'ro', markersize=8)
0阶插值：
In [17]:
cp_ch4 = interp1d(data['TK'], data['Cp'], kind="zero")
p = plt.plot(T, cp_ch4(T), "k+")
p = plt.plot(data['TK'][1:7], data['Cp'][1:7], 'ro', markersize=8)
二次插值：
In [18]:
cp_ch4 = interp1d(data['TK'], data['Cp'], kind="quadratic")
p = plt.plot(T, cp_ch4(T), "k+")
p = plt.plot(data['TK'][1:7], data['Cp'][1:7], 'ro', markersize=8)
三次插值：
In [19]:
cp_ch4 = interp1d(data['TK'], data['Cp'], kind="cubic")
p = plt.plot(T, cp_ch4(T), "k+")
p = plt.plot(data['TK'][1:7], data['Cp'][1:7], 'ro', markersize=8)
事实上，我们可以使用更高阶的多项式插值，只要将 kind 设为对应的数字即可：
四次多项式插值：
In [20]:
cp_ch4 = interp1d(data['TK'], data['Cp'], kind=4)
p = plt.plot(T, cp_ch4(T), "k+")
p = plt.plot(data['TK'][1:7], data['Cp'][1:7], 'ro', markersize=8)
可以参见：
- 维基百科-多项式插值：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E6%8F%92%E5%80%BC
- 百度百科-插值法：http://baike.baidu.com/view/754506.htm
对于二维乃至更高维度的多项式插值：
In [21]:
from scipy.interpolate import interp2d, interpnd
其使用方法与一维类似。
径向基函数¶
关于径向基函数，可以参阅：
- 维基百科-Radial basis fucntion：https://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_function
径向基函数，简单来说就是点 $x$ 处的函数值只依赖于 $x$ 与某点 $c$ 的距离：
$$\Phi(x,c) = \Phi(\|x-c\|)$$In [22]:
x = np.linspace(-3,3,100)
常用的径向基（RBF）函数有：
高斯函数：
In [23]:
plt.plot(x, np.exp(-1 * x **2))
t = plt.title("Gaussian")
Multiquadric 函数：
In [24]:
plt.plot(x, np.sqrt(1 + x **2))
t = plt.title("Multiquadric")
Inverse Multiquadric 函数：
In [25]:
plt.plot(x, 1. / np.sqrt(1 + x **2))
t = plt.title("Inverse Multiquadric")
径向基函数插值¶
对于径向基函数，其插值的公式为：
$$ f(x) = \sum_j n_j \Phi(\|x-x_j\|) $$我们通过数据点 $x_j$ 来计算出 $n_j$ 的值，来计算 $x$ 处的插值结果。
In [26]:
from scipy.interpolate.rbf import Rbf
使用 multiquadric 核的：
In [27]:
cp_rbf = Rbf(data['TK'], data['Cp'], function = "multiquadric")
plt.plot(data['TK'], data['Cp'], 'k+')
p = plt.plot(data['TK'], cp_rbf(data['TK']), 'r-')
使用 gaussian 核：
In [28]:
cp_rbf = Rbf(data['TK'], data['Cp'], function = "gaussian")
plt.plot(data['TK'], data['Cp'], 'k+')
p = plt.plot(data['TK'], cp_rbf(data['TK']), 'r-')
使用 nverse_multiquadric 核：
In [29]:
cp_rbf = Rbf(data['TK'], data['Cp'], function = "inverse_multiquadric")
plt.plot(data['TK'], data['Cp'], 'k+')
p = plt.plot(data['TK'], cp_rbf(data['TK']), 'r-')
不同的 RBF 核的结果也不同。
高维 RBF 插值¶
In [30]:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
三维数据点：
In [31]:
x, y = np.mgrid[-np.pi/2:np.pi/2:5j, -np.pi/2:np.pi/2:5j]
z = np.cos(np.sqrt(x**2 + y**2))
In [32]:
fig = plt.figure(figsize=(12,6))
ax = fig.gca(projection="3d")
ax.scatter(x,y,z)
Out[32]:
3维 RBF 插值：
In [33]:
zz = Rbf(x, y, z)
In [34]:
xx, yy = np.mgrid[-np.pi/2:np.pi/2:50j, -np.pi/2:np.pi/2:50j]
fig = plt.figure(figsize=(12,6))
ax = fig.gca(projection="3d")
ax.plot_surface(xx,yy,zz(xx,yy),rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.jet)
Out[34]:
